Bài 2.3 trang 50 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là...

Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là $\alpha$. Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình nón đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và $\alpha$ .

Hướng dẫn làm bài:

Gọi I là trung điểm của cạnh BC và O là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta có  SA = SB = SC = a  và $\widehat {SIO} = \alpha$. Đặt  OI = r, SO = h, ta có AO = 2r  và   

$\left\{ {\matrix{{h = r\tan \alpha } \cr {{a^2} = {h^2} + 4{r^2}} \cr} } \right.$  (vì SA² = SO² + AO² )

Do đó ${a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha  + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha  + 4)$

Vậy  $r = {a \over {\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}$

Hình nón nội tiếp có đường sinh là :  $l = SI = {r \over {\cos \alpha }} = {a \over {\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}$

Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC là:

${S_{xq}} = \pi rl = \pi .{a \over {\sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }}.{a \over {\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + 4} }} = {{\pi {a^2}} \over {\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha  + 4)}}$