Bài 10 trang 40 sách giáo khoa hình học lớp 12: Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay...

Bài 10. Cho hình trụ có bán kính $r$ và có chiều cao cũng bằng $r$. Một hình vuông $ABCD$ có hai cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh $BC$ và $AD$ không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

:

Do tính chất đối xứng của $(ABCD)$ nên $(ABCD)$ cắt $OO’$ tại trung điểm $I$ của $OO’$. $I$ cũng là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$.

Xét tam giác vuông $IOB$ ta có:

$IB^2=IO^2+OB^2$

$\Rightarrow IB=\sqrt {{{\left( {{r \over 2}} \right)}^2} + {r^2}}  = {{r\sqrt 5 } \over 2}$

$\Rightarrow AC=BD=2IB=r\sqrt5; AB={{r\sqrt {10} } \over 2}$.

Suy ra: $S_{ABCD}={{5{r^2}} \over 2}$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ 

$\Rightarrow DE\bot AB, IE\bot AB$.

$\Rightarrow \widehat {IEO}$ là góc giữa $(ABCD)$  và mặt đáy của hình trụ.

$IE = {{r\sqrt {10} } \over 4}, OI={r\over 2}$

$sin\widehat {IEO}={{OI}\over {IE}}={\sqrt{10}\over5}$