Bài 3.70 trang 134 sách bài tập – Hình học 12: Cho hai đường thẳng...

Cho hai đường thẳng   ${\Delta _1}:{x \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {z \over 4}$  và ${\Delta _2}:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 2 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.$

a) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ chứa ${\Delta _1}$ và song song với ${\Delta _2}$

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ${\Delta _2}$ sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\matrix{{x = 2t’} \cr {y = - 2 + 3t’} \cr {z = 4t’} \cr} } \right.$

${\Delta _1}$ đi qua điểm M₁(0; -2; 0) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_1}}  = (2;3;4)$

${\Delta _2}$  đi qua điểm M₂ (1; 2; 1) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{a_2}}  = (1;1;2)$

Mặt phẳng $(\alpha )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_1}}  \wedge \overrightarrow {{a_2}}  = (2;0; - 1)$

$(\alpha )$  đi qua điểm M₁(0; -2; 0) và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n$, vậy phương trình của $(\alpha )$  là:  2x – z = 0

b) Xét điểm $H(1 + t;2 + t;1 + 2t) \in {\Delta _2}$

       $\overrightarrow {MH}  = (t - 1;t + 1;2t - 3)$

Ta có: MH nhỏ nhất $\Leftrightarrow MH \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_2}}  = 0$

$\Leftrightarrow   t – 1 + t  +1 + 2(2t – 3) = 0  \Leftrightarrow   t = 1$

Vậy ta được H(2; 3; 3)