Bài 3.71 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng đi qua...

Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha )$.

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu (S).

Hướng dẫn làm bài:

a) Đường thẳng AC có vecto chỉ phương $\overrightarrow {AC}  = (0;1; - 3)$

Phương trình tham số của đường thẳng AC: $\left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = t} \cr {z = 11 - 3t} \cr} } \right.$

b) Ta có:  $\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1; - 1)$  và $\overrightarrow {AC}  = (0;1; - 3)$

       $\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = ( - 2; - 3; - 1)$

Suy ra $(\alpha )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = ( - 2; - 3; - 1)$

Mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình:

$2(x – 1) + 3(y) + (z – 11) = 0$ hay  $2x + 3y + z – 13 = 0$

c) Phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính 5: (x + 3)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 25

Ta có $d(D,(\alpha )) = {{|2.( - 3) + 3.(1) + (2) - 13|} \over {\sqrt {4 + 9 + 1} }} = {{14} \over {\sqrt {14} }} = \sqrt {14}  < 5$

Do đó $d(D,(\alpha )) < r$ . Vậy mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu (S).