Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\).
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).
Hướng dẫn làm bài:
a) Đường thẳng AC có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AC} = (0;1; - 3)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = t} \cr {z = 11 - 3t} \cr} } \right.\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1; - 1)\) và \(\overrightarrow {AC} = (0;1; - 3)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = ( - 2; - 3; - 1)\)
Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = ( - 2; - 3; - 1)\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình:
\( 2(x – 1) + 3(y) + (z – 11) = 0\) hay \(2x + 3y + z – 13 = 0\)
c) Phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính 5: (x + 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 25
Ta có \(d(D,(\alpha )) = {{|2.( - 3) + 3.(1) + (2) - 13|} \over {\sqrt {4 + 9 + 1} }} = {{14} \over {\sqrt {14} }} = \sqrt {14} < 5\)
Do đó \(d(D,(\alpha )) < r\) . Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).