Bài 5.12 trang 221 sách bài tập - Giải tích 12: Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức...

Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) $A = {{\rm{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}} \over {3a}}{\rm{]}}^{ - 1}}{\rm{[}}{{{a^{{3 \over 2}}} - {b^{{3 \over 2}}}} \over {a - {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}} - {{a - b} \over {\sqrt a  + \sqrt b }}{\rm{]}}$

b)  $B = {({{\sqrt a  + \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} - {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a  + \sqrt x }})^{ - 2}} - {({{\sqrt a  - \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} - {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a  - \sqrt x }})^{ - 2}}$

c) $C = \sqrt {{{16}^{{1 \over {{{\log }_7}4}}}} + {{81}^{{1 \over {{{\log }_6}9}}}} + 15}$

d) $D = {49^{1 - {{\log }_7}2}} + {5^{ - {{\log }_5}4}}$

Hướng dẫn làm bài

Do a, b, x là những số dương nên ta có:

a) ${A_1} = {{\rm{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}} \over {3a}}{\rm{]}}^{ - 1}} = {{3a} \over {2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}} = {{3{a^{{1 \over 2}}}} \over {2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}}}}$

 ${A_2} = \left[ {{{{a^{{3 \over 2}}} - {b^{{3 \over 2}}}} \over {a - {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}}} \right. \left. {{{a - b} \over {\sqrt a  + \sqrt b }}} \right]$

$= {{({a^{{1 \over 2}}} - {b^{{1 \over 2}}})(a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}} + b)} \over {{a^{{1 \over 2}}}({a^{{1 \over 2}}} - {b^{{1 \over 2}}})}} - ({a^{{1 \over 2}}} - {b^{{1 \over 2}}})$

$= {{a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}} + b - {a^{{1 \over 2}}}({a^{{1 \over 2}}} - {b^{{1 \over 2}}})} \over {{a^{{1 \over 2}}}}} = {{2{a^{{1 \over 2}}}{b^{{1 \over 2}}} + b} \over {{a^{{1 \over 2}}}}} = {{{b^{{1 \over 2}}}(2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}})} \over {{a^{{1 \over 2}}}}}$     

Vậy $A = {A_1}.{A_2} = {{3{a^{{1 \over 2}}}} \over {2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}}}}.{{{b^{{1 \over 2}}}(2{a^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 2}}})} \over {{a^{{1 \over 2}}}}} = 3\sqrt b$

b) ${B_1} = {({{\sqrt a  + \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} - {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a  + \sqrt x }})^{ - 2}} = {{(a + x){{(\sqrt a  + \sqrt x )}^2}} \over {4ax}}$

${B_2} = {({{\sqrt a  - \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} - {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a  - \sqrt x }})^{ - 2}} = {{(a + x){{(\sqrt a  - \sqrt x )}^2}} \over {4ax}}$

Vậy  $B = {B_1} - {B_2} = {{a + x} \over {\sqrt {ax} }}$

c) Ta có  ${16^{{1 \over {{{\log }_7}4}}}} = {4^{2{{\log }_4}7}} = 49;{81^{{1 \over {{{\log }_6}9}}}} = 36$

$\Rightarrow C = \sqrt {49 + 36 + 15}  = 10$

d) Ta có  ${49^{1 - {{\log }_7}2}} = {{49} \over {{{49}^{{{\log }_7}2}}}} = {{49} \over 4};{5^{ - {{\log }_5}4}} = {1 \over 4}$

$\Rightarrow D = {{49} \over 4} + {1 \over 4} = {{25} \over 2}$.