Bài 5.18 trang 222 sách bài tập - Giải tích 12: Giải các bất phương trình sau:...

Giải các bất phương trình sau:

a) ${(0,5)^{{1 \over x}}} \ge 0,0625$                 

b) ${\log _{0,2}}({x^2} - 4) \ge  - 1$

c) ${\log _2}{\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 2$       

d) ${\log _3}({16^x} - {2.12^x}) \le 2x + 1$

Hướng dẫn làm bài:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với

${({1 \over 2})^{{1 \over x}}} \ge {1 \over {16}} \Leftrightarrow  {({1 \over 2})^{{1 \over x}}} \ge {({1 \over 2})^4}$

$\Leftrightarrow  {1 \over x} \le 4 \Leftrightarrow  {1 \over x} - 4 \le 0 \Leftrightarrow  {{1 - 4x} \over x} \le 0 \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{{x \ge {1 \over 4}} \cr {x < 0} \cr} } \right.$

b) Điều kiện:  $\left[ {\matrix{{x > 2} \cr {x < - 2} \cr} } \right.$

Bất phương trình đã cho tương đương với

${\log _{0,2}}({x^2} - 4) \ge {\log _{0,2}}0,{2^{ - 1}} = {\log _{0,2}}5$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4 \le 5$ (vì 0,2 < 1)  $\Leftrightarrow {x^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3$

Kết hợp với điều kiện, ta được  $\left[ {\matrix{{2 < x \le 3} \cr { - 3 \le x < - 2} \cr} } \right.$

c) Bất phương trình đã cho tương đương với  $0 < {\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 4$

$\Leftrightarrow  1 > {2^x} - {{15} \over {16}} \ge 0,{5^4}$

$\Leftrightarrow {{31} \over {16}} > {2^x} \ge 1$

$\Leftrightarrow  {\log _2}{{31} \over {16}} > x \ge 0$

$\Leftrightarrow 0 \le x < {\log _2}31 - 4$

 Ở đây, chúng ta đã áp dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số logarit và hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1.

d) Bất phương trình đã cho tương đương với  $0 < {16^x} - {2.12^x} \le {3^{2x + 1}}$

$\Leftrightarrow  0 < {4^x}{.4^x} - {2.4^x}{.3^x} \le {3^x}{.3^x}.3$

$\Leftrightarrow 0 < {({4 \over 3})^{2x}} - 2{({4 \over 3})^x} \le 3$                (1)

(Ta đã chia cả hai vế cho ${9^x}\;\left( {{9^x} > {\rm{ }}0{\rm{ }}} \right)$)

Đặt ${({4 \over 3})^x} = t(t > 0)$ , ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ {\matrix{{{t^2} - 2t \le 3} \cr {{t^2} - 2t > 0} \cr {t > 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t > 0} \cr {{t^2} - 2t - 3 \le 0} \cr {{t^2} - 2t > 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t > 0} \cr { - 1 \le t \le 3} \cr {\left[ {\matrix{{t > 2} \cr {t < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow  2 < t \le 3$

Từ đó, ta có  $2 < {({4 \over 3})^x} \le 3 <  =  > {\log _{{4 \over 3}}}2 < x \le {\log _{{4 \over 3}}}3$.

6