Bài 5.13 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12: Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm...

Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:

$s(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2};c(x) = {{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2};t(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}$

Hãy chứng minh rằng:

a) ${c^2}(x) - {s^2}(x) = 1$                   

b) $s(2x) = 2s(x)c(x)$

c)   $c(2x) = 2{c^2}(x) - 1 = 2{s^2}(x) + 1 = {c^2}(x) + {s^2}(x)$  

d) $t(2x) = {{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}}$

Hướng dẫn làm bài

Với a dương và khác 1, ta có:

a)  ${c^2}(x) - {s^2}(x) = {({{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2})^2} - {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2})^2}$

$= {{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2 - {a^{2x}} - {a^{ - 2x}} + 2} \over 4} = {4 \over 4} = 1$

d) $t(2x) = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}$ . Mặt khác, ta có:

 $1 + {t^2}(x) = 1 + {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}})^2} = {{2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2}}$

Ta biến đổi vế phải  

${{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}} = 2{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}.{{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2} \over {2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}}$

$= {{2({a^x} - {a^{ - x}}){{({a^x} + {a^{ - x}})}^2}} \over {2({a^x} + {a^{ - x}})({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}} = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}$