Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:
a) y = x3 ; y = 1 và x = 3
b) \(y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi \over 2}{\rm{]}}\)
c) \(y = {x^\alpha },\alpha \in {N^*};y = 0;x = 0\) và x = 1
Hướng dẫn làm bài
a)
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích (V1 và V2) của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy V = V1 – V2 , trong đó :
\({V_1} = \pi \int\limits_1^3 {{x^6}} dx = {1 \over 7}\pi {x^7}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right. = {\pi \over 7}({3^7} - 1)\)
\({V_2} = \pi \int\limits_1^3 {dx = 2\pi }\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Rightarrow V = {V_1} - {V_2} = {\pi \over 7}({3^7} - 15) = 310{2 \over 7}\pi \) (đơn vị thể tích)
b)
Ta có V = V1 – V2 trong đó
\({V_1} = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} = {{{\pi ^2}} \over 4}\)
\({V_2} = \pi \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{({2 \over \pi }x)}^2}dx = {{{\pi ^2}} \over 6}} \)
\(V = {V_1} - {V_2} = {{{\pi ^2}} \over {12}}\) (đơn vị thể tích)
c) Hình vẽ
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{2\alpha }}dx} = {\pi \over {2\alpha + 1}}\)