Bài 13 trang 38 Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}$ Khảo sát và vẽ đồ thị...

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y’, xét dấu y’, xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Lập bảng biến thiên và quan sát

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}$

• Chiều biến thiên:

$y’ = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$

Trên các khoảng ($- \infty$; -1), (3; $+ \infty$) thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 3) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = - \infty$

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{{x^2} - x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} - x) = 5$ nên y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 - \sqrt 5 \\x = - 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ($- 2 - \sqrt 5$; 0) và ($- 2 + \sqrt 5$; 0)

b) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{[2;4]} y = y(3) = 10$ và $\mathop {\max }\limits_{[2;4]} y = y(2) = 11$