Bài tập 1.20 trang 34 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau...

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = {x^3} + 3{x^2} - 4$

b) $y = {x^3} + 4{x^2} + 4x$

c) $y = - 2{x^3} + 2$

d) $y = - {x^3} - {x^2} - x + 1$

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty$

_{Ta có:} ${y^\prime } = 3{x^2} + 6x$

${y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \leftrightarrow x = - 2{\rm{ hoac }}x = 0$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (0,∞), nghịch biến trên khoảng (-2,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = - 4$

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 2,{y_{CD}} = 0$

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,-4).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0), (1,0).

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = - \infty$

Ta có: ${y^\prime } = 3{x^2} + 8x + 4$

${y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 4 = 0 \leftrightarrow x = - 2{\rm{ }}$hoặc $x = \frac{{ - 2}}{3}$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty , - 2)$ và $\left( {\frac{{ - 2}}{3},\infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2,\frac{{ - 2}}{3}} \right)$.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{{ - 2}}{3},{y_{CT}} = - \frac{{32}}{{27}}$

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 2,{y_{CD}} = 0$

- Vẽ đồ thị:

Đi qua gốc tọa độ O(0,0).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0).

c)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = \infty$

Ta có: ${y^\prime } = - 6{x^2} \le 0\forall x \in R$

${y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 6x = 0 \leftrightarrow x = 0{\rm{ }}$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,2).

Giao điểm với trục Ox là (1,0).

d)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \infty$

Ta có: ${y^\prime } = - 3{x^2} - 2x - 1 < 0\forall x \in R$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Giao với trục Oy tại điểm (0,1)

Giao với trục Ox tại điểm (0.5437,0)