Câu hỏi/bài tập:
Khởi động: Một cửa hàng kinh doanh điện thoại di động đã ký hợp đồng với nơi sản xuất để nhập về 2.500 điện thoại trong một năm. Cửa hàng có thể nhập về tất cả số điện thoại này và bán dần, tuy nhiên như vậy sẽ tốn nhiều chi phí cho lưu kho, bảo quản và mặt bằng. Vì vậy họ được phép nhập về theo từng đợt, mỗi đợt đều nhập x chiếc điện thoại, sau đó sẽ lưu trữ ở kho hàng một nửa số điện thoại đó. Biết rằng kinh phí cho việc lưu trữ ở kho trong một năm là 100.000 đồng trên một chiếc điện thoại (chỉ tính trong đợt nhập đầu tiên), chi phí cho mỗi đợt nhập hàng (vận chuyển, giấy tờ, nhân công sắp xếp,...) cố định là 200.000 đồng và thêm 90.000 đồng trên mỗi điện thoại. Bằng cách xác định hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng chi phí vào số điện thoại nhập trong mỗi đợt và khảo sát sự biến thiên của hàm số này, người ta có thể tìm được phương án nhập điện thoại để tổng chi phí là nhỏ nhất. Họ đã làm điều đó như thế nào?
Trở lại phần khởi động đầu bài.
a) Lập công thức hàm số tổng chi phí lưu kho và nhập hàng, khảo sát sự biến thiên của hàm số này.
b) Tìm số đợt nhập và số điện thoại nhập trong mỗi đợt để tổng chi phí của câu a là nhỏ nhất.
1. Lập công thức hàm số tổng chi phí:
- Đặt 𝑥 là số điện thoại nhập trong mỗi đợt.
- Tính số đợt nhập cần thiết trong một năm là \(\frac{{2500}}{x}\).
- Xác định các thành phần chi phí:
+ Chi phí cố định cho mỗi đợt nhập hàng.
+ Chi phí trên mỗi điện thoại.
+ Chi phí lưu kho.
- Tổng hợp các chi phí để tạo thành công thức tổng chi phí.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số tổng chi phí:
- Tính đạo hàm của hàm số tổng chi phí.
- Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
- Xác định các giá trị biên và sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
3. Tìm số đợt nhập và số điện thoại nhập trong mỗi đợt:
Advertisements (Quảng cáo)
Sử dụng kết quả từ khảo sát hàm số để xác định số đợt nhập và số điện thoại nhập trong mỗi đợt sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất.
a) Gọi x là số điện thoại nhập trong mỗi đợt. Ta có:
- Số đợt nhập hàng trong một năm là \(\frac{{2500}}{x}\).
- Chi phí cố định cho mỗi đợt nhập hàng là 200.000 đồng.
- Chi phí trên mỗi điện thoại là 90.000 đồng.
- Chi phí lưu kho cho mỗi điện thoại là 100.000 đồng trong một năm.
Tổng chi phí cho mỗi đợt nhập hàng là: \(c = 200000 + 90000x\).
Tổng chi phí lưu kho cho \(x\) điện thoại trong một năm là: \(\kappa = 100000x\).
Vậy tổng chi phí cho mỗi đợt là: \(T(x) = (200000 + 90000x) \cdot \frac{{2500}}{x} + 100000x\).
Ta có: \(T(x) = \frac{{2500.200000}}{x} + 2500.90000 + 100000x\).
\(T(x) = \frac{{500000000}}{x} + 225000000 + 100000x\).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số tổng chi phí.
Ta có hàm số: \(T(x) = \frac{{500000000}}{x} + 225000000 + 100000x\).
Tính đạo hàm: \({T^\prime }(x) = \frac{{ - 500000000}}{{{x^2}}} + 100000\).
Giải phương trình \({{\rm{T}}^\prime }({\rm{x}}) = 0\) :
\(\frac{{ - 500000000}}{{{x^2}}} + 100000 = 0 \Leftrightarrow 100000 = \frac{{500000000}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} \approx 70.71.\)
Vậy số điện thoại nhập trong mỗi đợt là \(x \approx 70.71\). Số đợt nhập là \(\frac{{2500}}{{70.71}} \approx 35.37\).
Kết luận: Cửa hàng nên nhập khoảng 71 điện thoại mỗi đợt và có khoảng 35 đợt nhập để tổng chi phí là nhỏ nhất.