Luyện tập 2 Toán 12 - Cùng khám phá: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x + 4/2x + 1...

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}}.$

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

- Tập xác định: ${\rm{D}} = {\rm{R}}\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}$.

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.$

Suy ra đường thẳng ${\rm{y}} = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = - \infty$

Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: ${y^\prime } = \frac{{ - 6}}{{{{(2x + 1)}^2}}} < 0.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ,\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{{ - 1}}{2}, + \infty } \right)$

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị: