Mục 3 trang 60, 61, 62, 63, 64 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Vẽ hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {MQ}$ lần lượt bằng $\overrightarrow {AB}$ và \(\overrightarrow...

Luyện tập (LT) 5

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có $\widehat {BAC} = \alpha$. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA’ (Hình 2.18).

a) Vẽ hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {MQ}$ lần lượt bằng $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {A’C’}$. ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?

b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {MP}$, $\overrightarrow {MQ}$ và so sánh góc đó với $\alpha$.

- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.

- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.

a) Ta có: $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB}$ suy ra MP = AB và MP // AB (1)

Tương tự: $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A’C’}$ suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta MPQ = \Delta ABC$.

ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.

b) Vì $\Delta MPQ = \Delta ABC$ nên $\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha$.

Mà góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {MQ}$ là góc$\widehat {PMQ}$.

Vậy $\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha$.

Luyện tập (LT) 6

Cho hình lập phương $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$ và

a) vecto $\overrightarrow {AB}$;

b) vectơ $\overrightarrow {AD}$;

c) vectơ $\overrightarrow {{B^\prime }B}$.

Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là $a$.

a) Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow {AB}$:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC}$.

Mà góc giữa $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AB}$ là $\widehat {BAC}$ và vì ABCD là hình vuông nên $\widehat {BAC} = 45^\circ$.

Suy ra $\widehat {(\overrightarrow {A’C’} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ$.

b) Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow {AD}$:

Tương tự như câu a ta có: $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC}$.

Mà góc giữa $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AD}$ là $\widehat {DAC}$ và vì ABCD là hình vuông nên $\widehat {DAC} = 45^\circ$.

Suy ra $\widehat {(\overrightarrow {A’C’}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ$.

c) Tìm góc giữa vectơ $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow {{B^\prime }B}$:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra $\overrightarrow {B’B} = \overrightarrow {O’O}$.

Mà $O’O \bot AC$ nên $\widehat {(\overrightarrow {A’C’}, \overrightarrow {B’B} )} = 90^\circ$.

Hoạt động (HĐ) 6

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a,\vec b$ khác $\vec 0$. Từ một điểm $O$ tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ $\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }}$ sao cho $\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a$, $\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b$. (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ $\overrightarrow {{a^\prime }}$ và $\overrightarrow {{b^\prime }}$ (Hình 2.21).

a) Trong mặt phẳng $(P)$, hãy viết biểu thức tính $\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }}$.

b) Hãy so sánh $\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }}$ với $|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)$.

1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng $(P)$.

2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.

a) Trong mặt phẳng $(P)$, biểu thức tính $\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }}$ được tính như sau:

$\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {{a^\prime }}$ và $\overrightarrow {{b^\prime }}$.

b) Vì $\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a$ và $\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b$, nên:

$|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|$

Do đó, ta có:

$\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {{a^\prime }}$ và $\overrightarrow {{b^\prime }}$.

Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {{a^\prime }}$ và $\overrightarrow {{b^\prime }}$ trong mặt phẳng $(P)$ là bằng tích của độ lớn của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:

$\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)$

Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của $\overrightarrow {{a^\prime }}$ và $\overrightarrow {{b^\prime }}$ trong mặt phẳng $(P)$ bằng tích vô hướng của $\vec a$ và $\vec b$.

Luyện tập (LT) 7

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:

a) $\overrightarrow {AB’} .\overrightarrow {A’C’} ;$

b) $\overrightarrow {AB’} .\overrightarrow {BD} ;$

c) $\overrightarrow {A’C’} .\overrightarrow {BB’} .$

- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.

- Sử dụng công thức tích vô hướng $\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta$ để tính.

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

a) Tính $\overrightarrow {AB’} \cdot \overrightarrow {A’C’}$.

Độ dài của $|\overrightarrow {AB’} | = |\overrightarrow {A’C’} | = a\sqrt 2$ (vì AB’ và A’C’ là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC}$.

Góc giữa $\overrightarrow {AB’}$ và $\overrightarrow {AC}$ là ${60^^\circ }$ vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.

Do đó: $\overrightarrow {AB’} .\overrightarrow {A’C’} = \left| {\overrightarrow {AB’} } \right|.\left| {\overrightarrow {A’C’} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}$.

b) Tính $\overrightarrow {AB’} \cdot \overrightarrow {BD}$.

Độ dài của $|\overrightarrow {AB’} | = a\sqrt 2$ và $|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2$ (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).

Từ B vẽ một vectơ $\overrightarrow {BE}$ bằng với vectơ $\overrightarrow {AB’}$.

Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra: $\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ$.

Góc giữa $\overrightarrow {AB’}$ và $\overrightarrow {BD}$ cũng là góc giữa $\overrightarrow {BE}$và $\overrightarrow {BD}$ là $\widehat {DBE}$.

Do đó: $\overrightarrow {AB’} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB’} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}$.

c) Tính $\overrightarrow {A’C’} \cdot \overrightarrow {BB’}$.

Độ dài của $|\overrightarrow {A’C’} | = a\sqrt 2$ và $|\overrightarrow {BB’} | = a$.

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {AA’}$.

Do $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AA’}$ vuông góc với nhau nên góc giữa $\overrightarrow {A’C’}$ và $\overrightarrow {BB’}$ Là 90°.

Suy ra: $\overrightarrow {A’C’} .\overrightarrow {BB’} = \left| {\overrightarrow {A’C’} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB’} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0$.

Luyện tập (LT) 8

Cho tứ diện ABCD có $DA = DB = a$, $BC = \frac{a}{2}$, $AB \bot BC$ và $\widehat {CBD} = {45^^\circ }$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$.

- Tính tích vô hướng của $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD}$, từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$.

- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:

$\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}$.

Ta có: $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$.

Mà: $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}$.

Suy ra: $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$(vì $AB \bot BC$ nên $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0$).

Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:

$\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {BC}$ là $\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ$.

Luyện tập (LT) 9

Một chất điểm ở vị trí đỉnh $A$ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC’}$ như Hình 2.25. Cường độ của các lực $\vec a$, $\vec b$ và $\vec c$ tương ứng là $10{\rm{ N}}$, $10{\rm{ N}}$ và $20{\rm{ N}}$. Tính cường độ hợp lực của $\vec a$, $\vec b$ và $\vec c$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của $\vec a$, $\vec b$.

_{$F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha$.}

- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với $\vec c$.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa $\overrightarrow {AD}$và $\overrightarrow {AB}$ là 90°.

Suy ra lực $\vec a$ vuông góc với $\vec b$. Vậy hợp lực của hai lực $\vec a$ và $\vec b$ là:

$\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N$.

Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:

$AC’ = \sqrt {A{C^2} + CC{‘^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}}$ (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên $CC’ = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}$).

$\cos \widehat {CAC’} = \frac{{AC}}{{AC’}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Hợp lực của $\vec a$, $\vec b$ và $\vec c$ là:

$F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC’}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N$.