Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(M\left( { - 4;3;3} \right),N\left( {4; - 4;2} \right)\) và \(P\left( {3;6; - 1} \right)\).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} \), từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
a) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ không cùng phương để chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Nếu hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương thì ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ điểm Q: Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NQ} \)
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) thì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x’;y + y’;z + z’} \right)\)
c) Sử dụng kiến về chu vi hình bình hành để tính: Chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {MN + NP} \right)\).
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {4 - \left( { - 4} \right); - 4 - 3;2 - 3} \right) = \left( {8; - 7; - 1} \right),\overrightarrow {MP} \left( {7;3; - 4} \right)\)
Vì \(\frac{8}{7} \ne \frac{{ - 7}}{3} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 4}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) không cùng phương. Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b)
Ta có: \(\overrightarrow {NM} \left( { - 8;7;1} \right),\overrightarrow {NP} \left( { - 1;10; - 3} \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \left( {\left( { - 8} \right) + \left( { - 1} \right);7 + 10;1 - 3} \right) = \left( { - 9;17; - 2} \right)\)
Gọi tọa độ điểm Q là Q(x; y; z), ta có: \(\overrightarrow {NQ} \left( {x - 4;y + 4;z - 2} \right)\)
Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NQ} \)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 9\\y + 4 = 17\\z - 2 = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 13\\z = 0\end{array} \right.\). Vậy \(Q\left( { - 5;13;0} \right)\)
c) Ta có: \(NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {7^2} + {1^2}} = \sqrt {114} \), \(NP = \left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {110} \)
Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là: \(C = 2\left( {NP + NM} \right) = 2\left( {\sqrt {114} + \sqrt {110} } \right)\)