Bài 2.6 trang 58 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và...

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$.

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\overrightarrow a = \overrightarrow b$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $\overrightarrow {OC} = - \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {OB}$

Ta có: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {SO} + \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA} } \right) = 2\overrightarrow {SO}$

$\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {SO} + \left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OB} } \right) = 2\overrightarrow {SO}$

Do đó, $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$

Chứng minh: Nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SD} - \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$

Suy ra, hai vectơ $\overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, $AB = CD,$ AB//CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD}$