Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì $P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)$ và \(P\left( {A|\overline B }...

Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì $P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)$ và $P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)$

Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là $P\left( {A|B} \right)$.

Sử dụng kiến thức về tính chất biến cố độc lập để chứng minh: Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì cặp biến cố $\overline A$ và B; A và $\overline B$ cũng độc lập.

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P\left( B \right) > 0$. Khi đó, $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Theo định nghĩa, $P\left( {\overline A |B} \right)$ là xác suất của $\overline A$, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố B đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên $\overline A$ và B cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của $\overline A$. Do đó, $P\left( {\overline A |B} \right) = P\left( {\overline A } \right)$.

Theo định nghĩa, $P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)$ là xác suất của A, tính trong điều kiện biết rằng nếu biến cố $\overline B$ đã xảy ra. Vì A và B độc lập nên A và $\overline B$ cũng độc lập. Do đó, việc xảy ra $\overline B$ không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A. Do đó, $P\left( {A|\overline B } \right) = P\left( A \right)$.