Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N...

Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê $2 \times 2$ như sau:

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P\left( B \right) > 0$. Khi đó, $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp gồm 4 000 bệnh nhân thử nghiệm nên $n\left( \Omega \right) = 4000$

a) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc M”, B là biến cố “Người đó khỏi bệnh”

Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc M và khỏi bệnh”

Ta có: $1600 + 1200 = 2800$ người khỏi bệnh nên $n\left( B \right) = 3800$. Do đó, $P\left( B \right) = \frac{{2800}}{{4000}}$

Trong số những người khỏi bệnh, có 1 600 người uống thuốc M nên $n\left( {AB} \right) = 1\;600$

Do đó, $P\left( {AB} \right) = \frac{{1600}}{{4000}}$. Vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{1600}}{{2800}} = \frac{4}{7}$

b) Gọi A là biến cố: “Người đó uống thuốc N”, B là biến cố “Người đó không khỏi bệnh”.

Khi đó biến cố AB là: “Người đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”

Ta có: $800 + 400 = 1200$ người không khỏi bệnh nên $n\left( B \right) = 1200$. Do đó, $P\left( B \right) = \frac{{1200}}{{4000}}$

Trong số những người không khỏi bệnh, có 400 người uống thuốc N nên $n\left( {AB} \right) = 400$

Do đó, $P\left( {AB} \right) = \frac{{400}}{{4000}}$. Vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{400}}{{1200}} = \frac{1}{3}$