Hoạt động2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Với \(x > 1\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(x = 1\) (H.1.22).
a) Tính khoảng cách MH.
b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M?
Sử dụng kiến thức về đọc đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét.
a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{x}{{x - 1}}} \right);H\left( {1;\frac{x}{{x - 1}}} \right)\)
Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{{x - 1}} - \frac{x}{{x - 1}}} \right)}^2}} = x - 1\) (do \(x > 1\))
b) Khi khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M dần ra xa vô tận về phía trên (tung độ điểm M tiến ra \( + \infty \)).
Luyện tập2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{4}{x}}} = 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) là \(y = 2\).
Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 4}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 4}}\) đường thẳng \(x = 4\).
Vận dụng2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là \(C\left( p \right) = \frac{{45p}}{{100 - p}}\) (triệu đồng), với \(0 \le p < 100\). Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa của đường tiệm cận này.
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} C\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {{100}^ - }} \frac{{45p}}{{100 - p}} = + \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) là \(p = 100\).
Ý nghĩa của đường tiệm cận là: Không thể loại bỏ hết loài tảo độc ra khỏi hồ nước dù chi phí là bao nhiêu.