Hoạt động3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x’\overrightarrow i + y’\overrightarrow j + z’\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)
Vì \(\overrightarrow i \bot \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow i \bot \overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\)
b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i = x\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow j = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j = x\overrightarrow i .\overrightarrow j + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j = y\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow k = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k = x\overrightarrow i .\overrightarrow k + y\overrightarrow j .\overrightarrow k + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)
c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( {x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k } \right).\left( {x’\overrightarrow i + y’\overrightarrow j + z’\overrightarrow k } \right)\)
\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy’.\overrightarrow i .\overrightarrow j + xz’\overrightarrow i .\overrightarrow k + x’y.\overrightarrow i .\overrightarrow j + yy’.{\overrightarrow j ^2} + yz’\overrightarrow j .\overrightarrow k + zx’.\overrightarrow k .\overrightarrow i + zy’.\overrightarrow k \overrightarrow j + zz'{\overrightarrow k ^2}\)
Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’\)
Luyện tập3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, tính \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x’;y + y’;z + z’} \right)\)
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’\).
Ta có: \({\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
Do đó, \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38\)
Luyện tập4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx’ + yy’ + zz’}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{‘^2} + y{‘^2} + z{‘^2}} }}\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).