Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x...

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $f\left( x \right) = - {x^2} + 4x,$ $g\left( x \right) = x$ và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ (H.4.16)

a) Giả sử ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = - {x^2} + 4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$; ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$. Tính ${S_1}$, ${S_2}$ và từ đó suy ra S.

b) Tính $\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ và so sánh với S.

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$, được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = - {x^2} + 4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ là:

${S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 3$ là: ${S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4$

Do đó, $S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}$

b) $\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.$

$= \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}$

Do đó, $S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$