Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x...

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x,\) \(g\left( x \right) = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) (H.4.16)

a) Giả sử \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\). Tính \({S_1}\), \({S_2}\) và từ đó suy ra S.

b) Tính \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) và so sánh với S.

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là:

\({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{ - {3^3}}}{3} + {2.3^2} + \frac{1}{3} - {2.1^2} = \frac{{22}}{3}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 3\) là: \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|dx} = \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = 4\)

Do đó, \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\)

b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right.\)

\( = \frac{{ - {3^3}}}{3} + \frac{{{{3.3}^2}}}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{10}}{3}\)

Do đó, \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)