Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$?...

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$?

a) $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x$;

b) $G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K.

a) Ta có: $F’\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)’ = x + \frac{1}{x}$

Vì $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $\left( {0; + \infty } \right)$ nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) $G’\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)’ = x - \frac{1}{x}$

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên $\left( {0; + \infty } \right)$ vì với $x = 1$ ta có:

$G’\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)$.