Với $\alpha \ne - 1$, tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\left( {x > 0} \right)$...

a) Với $\alpha \ne - 1$, tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\left( {x > 0} \right)$.

b) Cho hàm số $y = \ln \left| x \right|\left( {x \ne 0} \right)$. Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: $x > 0$ và $x < 0$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K.

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C}$, C là hằng số.

Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số lũy thừa để tính các đạo hàm: Hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)$ có đạo hàm với mọi $x > 0$ và $\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha .{x^{\alpha - 1}}$

a) Vì $y’ = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)’} = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }$ với mọi $x > 0$, $\alpha \ne - 1$.

b) Ta có: $y’ = \left( {\ln \left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{\left| x \right|}}$.

Với $x > 0$ thì $y’ = \frac{1}{x}$.

Với $x < 0$ thì $y' = \frac{1}{{ - x}}$.