Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh:...

Bài 10. Chứng minh:

a) $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2;$ 

b) $\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3$

a) Ta có $4 \pm 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1 = {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}$

nên $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = \left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {\sqrt 3  - 1} \right) = 2$

b) Đặt $x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }$

Ta có ${x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}$

$= 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}  + 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } .x$

$= 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x$.

Do đó: ${x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)$

Mà ${x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)$ nên từ phương trình đã cho suy ra

x=3 (vì ${x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x$)

Vậy $\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3$