Câu 2.16 trang 73 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính...

Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính

                 $\root 3 \of {6 + \sqrt {{{847} \over {27}}} }  + \root 3 \of {6 - \sqrt {{{847} \over {27}}} }$

Giải

Đặt $x = \root 3 \of {6 + \sqrt {{{847} \over {27}}} }  + \root 3 \of {6 - \sqrt {{{847} \over {27}}} }$ . Khi đó

${x^3} = 12 + 3\root 3 \of {36 - {{847} \over {27}}} x \Leftrightarrow {x^3} = 12 + 3.{5 \over 3}x$

$\Leftrightarrow {x^3} - 5x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 4} \right) = 0$                (1)

Ta có ${{x^2} + 3x + 4}>0\;\forall x\in \mathbb R$ .

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3