Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh...

Bài 7. Chứng minh $\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2$

Đặt $x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }$ Ta có:

${x^3} = \left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right)^3$

$= 7 + 5\sqrt 2  + 7 - 5\sqrt 2  + 3\root 3 \of {{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  + 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}$

$= 14 - 3\left( {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right) = 14 - 3x$.

Từ đó suy ra: ${x^3} + 3x - 14 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ ( vì ${x^2} + 2x + 7 > 0$)

Vậy $\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 }  + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 }  = 2$