Bài 2 trang 122 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho....

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho.

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD và A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Gọi $V\left( {G; - {1 \over 3}} \right)$ là phép vị tự tâm G tỉ số $k =  - {1 \over 3}.$ Ta có: $\overrightarrow {GA’}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {GA} .$

Suy ra: $V\left( {G; - {1 \over 3}} \right):A \to A’.$

Tương tự: $B \to B’$

                $\eqalign{ & C \to C’ \cr & D \to D’. \cr}$

Do đó: $V:ABCD \to A’B’C’D’.$ Vậy ${V_{A’B’C’D’}} = {\left| k \right|^3}{V_{ABCD}} = {1 \over {27}}V.$