Bài 21
a) Giải phương trình: (z2+i)(z2−2iz−1)=0
b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2+Bz+3i=0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
a) Nhận xét:−2i=(1−i)2⇒−i=(1−i√2)2
Suy ra –i có căn bậc hai \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)
Ta có \left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} + i = 0 \hfill \cr {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr} \right.
* {z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - i \Leftrightarrow z = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)
Advertisements (Quảng cáo)
* {z^2} - 2iz - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i
Vậy S = \left\{ {i;{{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right); - {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)} \right\}
b) Gọi {z_1},{z_2} là hai nghiệm của phương trình
Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8
Theo định lí Vi-et ta có:
\left\{ \matrix{ {z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr {z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.
\eqalign{ & {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr & \Leftrightarrow {\left( { - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr & \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr & \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr & \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \cr}