Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm các số thực b, c để phương trình...

Bài 25

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                ${z^2} + bz + c = 0$ 

nhận $z = 1 + i$ làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      ${z^3} + a{z^2} + bz + c = 0$ 

nhận $z = 1 + i$ làm nghiệm và cũng nhận $z = 2$ là nghiệm.

a) $1 + i$ là một nghiệm của phương trình ${z^2} + bz + c = 0$ khi và chỉ khi

${\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0 \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0$

$\Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b + c = 0 \hfill \cr  2 + b = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b =  - 2 \hfill \cr  c = 2 \hfill \cr}  \right.$

b) $1 + i$ là một nghiệm của ${z^3} + a{z^2} + bz + c = 0$  khi và chỉ khi

   ${\left( {1 + i} \right)^3} + a{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0 \Leftrightarrow \left( {b + c - 2} \right)+\left( {2 + 2a + b} \right)i = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  b + c - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  2a + b + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.$

$2$ là nghiệm của ${z^3} + a{z^2} + bz + c = 0$ khi và chỉ khi $8 + 4a + 2b + c = 0\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ (1), (2), (3) ta có hệ: $\left\{ \matrix{  b + c = 2 \hfill \cr  2a + b =  - 2 \hfill \cr  4a + 2b + c =  - 8 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a =  - 4 \hfill \cr  b = 6 \hfill \cr  c =  - 4 \hfill \cr}  \right.$