Bài 23 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm nghiệm phức phương trình...

Bài 23

Tìm nghiệm phức phương trình $z + {1 \over z} = k$ trong các trường hợp sau:

a) $k = 1$;                

b) $k = \sqrt 2$                       

c) $k = 2i$

Giải

 $z + {1 \over z} = k$

Ta có $z + {1 \over z} = k \Leftrightarrow {z^2} - kz + 1 = 0$

Phương trình có hai nghiệm là $z = {{k \pm \delta } \over 2}$ trong đó $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta  = {k^2} - 4$

a) Với $k = 1$ thì $\Delta  =  - 3$ khi đó $z = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2}$

b) Với $k = \sqrt 2$ thì $\Delta  =  - 2$ khi đó $z = {{\sqrt 2  \pm \sqrt 2 i} \over 2}$$= {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 \pm i} \right)$

c) Với $k = 2i$ thì $\Delta  =  - 8$ khi đó $z = {{2i \pm 2\sqrt 2 i} \over 2} = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i$