Bài 22 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của -1...

Bài 22

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của $-1$ là $\sqrt { - 1}$ và tính $\sqrt { - 1}$.$\sqrt { - 1}$ như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của $-1$ thì  $\sqrt { - 1}$.$\sqrt { - 1} = - 1$ .

b) Theo tính chất của căn bậc hai ( tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó ) thì $\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1}  = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1$

Từ đó, học sinh đó suy ra $-1 = 1$

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Lập luận a) là đúng

Lập luận b) sai ở chỗ; nếu z₁ là một căn bậc hai của w₁, z₂ là một căn bậc hai của w₂ thì ${z_1}{z_2}$ là một trong hai căn bậc hai của ${{\rm{w}}_1}{{\rm{w}}_2}$; vậy ở đây $\sqrt { - 1}$.$\sqrt { - 1}$ chỉ là một căn bậc hai của $\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) = 1$ (để ý rằng có hai căn bậc hai của 1 là 1 và -1), các kí hiệu $\sqrt {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)}$ và $\sqrt 1$ chưa xác định.