Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng...

Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tính các tích phân sau...

Tính các tích phân sau . Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao - Bài 4. Một số phương pháp tích phân

Bài 25. Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx;} \)         b) \(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;\)       

c) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx;} \)

\(d)\,\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;} \)        \(e)\,\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.} \)   

a) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx = \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}}}  - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\sin 2xdx} \) 

\( = {\pi  \over 8} + \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}} = {\pi  \over 8} + {1 \over 4}\left( { - 1} \right) = {\pi  \over 8} - {1 \over 4}.\)                                 

b) Đặt \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \Rightarrow du = {{ - 1} \over {2 - x}}dx\)

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx =  - \int\limits_{\ln 2}^0 {udu}  = \int\limits_0^{\ln 2} {udu}  = \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^{\ln 2} = {1 \over 2}{\left( {\ln 2} \right)^2}\)

c) Đặt 

Advertisements (Quảng cáo)

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx = {x^2}} \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi  \over 2}} - 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx = {{{\pi ^2}} \over 4}}  - 2{I_1}\)

Với \({I_1} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \({I_1} =  - x\left. {\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos xdx = \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  = 1\)

Vậy \(I = {{{\pi ^2}} \over 4} - 2\)

d) Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 \Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}udu\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx}  = {2 \over 3}\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du = \left. {{{2{u^3}} \over 9}} \right|} _1^{\sqrt 2 } = {2 \over 9}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)\)

e) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|} _1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left. {{1 \over 9}{x^3}} \right|} _1^e = {{2{e^3} + 1} \over 9}\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: