Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao, Viết dạng...

Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao, Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:...

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau. Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao - Bài 3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) \(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)

b) \(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - {{3\pi } \over 4}.\)

Giải

a) Ta có \(i = \cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}\) nên acgumen của i là \({\pi  \over 2}\). Một acgumen của \(z = {{iz} \over i}\) là \({{5\pi } \over 4} - {\pi  \over 2} = {{3\pi } \over 4}\)

Vậy \(z = 3\left( {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right)\), từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) và \(-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)=\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)\).

Advertisements (Quảng cáo)

b) Gọi \(\varphi \) là acgumen của z là -\(\varphi \) là một acgumen của \(\overline z \)

\(1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) có một acgumen là \({\pi  \over 4}\) nên một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - \varphi  - {\pi  \over 4}\). Theo đề bài ta có:

\( - \varphi  - {\pi  \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right) \Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Vậy \(z = {1 \over 3}\left( {\cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}} \right)\) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

\({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) và \( - {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: