Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao, Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:...

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) $\left| z \right| = 3$ và một acgumen của iz là ${{5\pi } \over 4};$

b) $\left| z \right| = {1 \over 3}$ và một acgumen của ${{\overline z } \over {1 + i}}$ là $- {{3\pi } \over 4}.$

Giải

a) Ta có $i = \cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}$ nên acgumen của i là ${\pi  \over 2}$. Một acgumen của $z = {{iz} \over i}$ là ${{5\pi } \over 4} - {\pi  \over 2} = {{3\pi } \over 4}$

Vậy $z = 3\left( {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right)$, từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là $\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)$ và $-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)=\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)$.

b) Gọi $\varphi$ là acgumen của z là -$\varphi$ là một acgumen của $\overline z$

$1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)$ có một acgumen là ${\pi  \over 4}$ nên một acgumen của ${{\overline z } \over {1 + i}}$ là $- \varphi  - {\pi  \over 4}$. Theo đề bài ta có:

$- \varphi  - {\pi  \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right) \Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$

Vậy $z = {1 \over 3}\left( {\cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}} \right)$ 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

${1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)$ và $- {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)$