Bài 4 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao, Biết góc giữa vectơ . Tìm k để vectơ vuông góc với vectơ...

Bài 4. Biết $\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\,;\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5$, góc giữa vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ bằng ${{2\pi } \over 3}$. Tìm k để vectơ $\overrightarrow p  = k\overrightarrow u  + 17\overrightarrow v$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow q  = 3\overrightarrow u  - \overrightarrow v$.

Ta có 

$\eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2}\,;\,\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \cr & \overrightarrow p .\overrightarrow q = 0 \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v } \right)\left( {3\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 3k{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 17{\left| {\overrightarrow v } \right|^2} + \left( {51 - k} \right)\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \cr & \Leftrightarrow 3k.4 - 17.25 + \left( {51 - k} \right).2.5.\left( { - {1 \over 2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 17k - 680 = 0 \cr & \Leftrightarrow k = 40 \cr}$

Vậy với k = 40 thì $\overrightarrow p  \bot \overrightarrow q$