Bài 34 trang 121 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho phương trình...

a) Cho phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0$

Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

b) Cho phương trình:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha  - 2y\sin \alpha  - 4z$

$- (4 + {\sin ^2}\alpha ) = 0$

Xác định $\alpha$ để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm $\alpha$ để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.

a) Ta có a = -2m, b = 2, c = m, $d = {m^2} + 4m.$

Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi

$\eqalign{  & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {( - 2m)^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0\;\forall m. \cr}$

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là :

$R = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3  \Rightarrow {R_{\min }} = \sqrt 3$ khi $m = {1 \over 2}.$

b) Ta có :$a = \cos \alpha ,b =  - \sin \alpha ,c =  - 2,d =  - (4 + {\sin ^2}\alpha )$

$\eqalign{  &  {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha   \cr  &  = 9 + {\sin ^2}\alpha  > 0\;\forall \alpha . \cr}$

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi $\alpha$.

Khi đó $R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha }$

Vì $0 \le {\sin ^2}\alpha  \le 1$ nên $3 \le R \le \sqrt {10}$

Vậy ${R_{\min }} = 3$ khi $\alpha  = k\pi ,(k \in \mathbb Z).$

       ${R_{\max }} = \sqrt {10}$ khi $\alpha  = {\pi  \over 2} + l\pi (l \in \mathbb Z).$