b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.. Bài 49 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao – Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm phân thức hữu tỉ
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 49.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = {{x – 2} \over {2x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
a) TXĐ: \(R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^ + }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^ – }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = – {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {1 \over 2}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
\(y’ = {{\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne – {1 \over 2}\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { – {1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;-2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2;0)\).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(I\left( { – {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là:
\(\left\{ \matrix{
x = X – {1 \over 2} \hfill \cr
y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của đồ thị \((C)\) đối với trục \(IXY\):
\(Y + {1 \over 2} = {{X – {1 \over 2} – 2} \over {2\left( {X – {1 \over 2}} \right) + 1}} \Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X – {5 \over 2}} \over {2X}} \Leftrightarrow Y = – {5 \over {4X}}\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhân I làm tâm đối xứng.