Bài 1 trang 23 sgk giải tích 12: Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số...

Bài 1. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

    a) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35$ trên các đoạn $[-4; 4]$ và $[0;5]$ ;

    b) $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2$ trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$;

    c) $y = {{2 - x} \over {1 - x}}$ trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$;

    d) $y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}$ trên đoạn $[-1;1]$.

a) Xét $D = [-4; 4]$

$y’ = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} - 9;y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 3 \in D \hfill \cr x = - 1 \in D \hfill \cr} \right.$ 

Ta có: $y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8$

Vậy $\eqalign{ & \mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = 40 \cr  & \mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = - 41 \cr}$

Xét $D = [0; 5]$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 3 \in D \hfill \cr x = - 1 \notin D \hfill \cr} \right.$

Ta có $y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8$

Vậy $\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;5} \right]}  = 40;\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;5} \right]}  = 8$

b) $y’ = 4{x^3} - 6x = 2x\left( {2{x^2} - 3} \right);y’ = 0\left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr x = - \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.$

- Với $D = [0; 3]$ thì $x =  - \sqrt {{3 \over 2}}  \notin D$ 

Ta có $y\left( 0 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 56;y\left( {\sqrt {{3 \over 2}} } \right) =  - {1 \over 4}$ 

Vậy $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]}  =  - {1 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;3} \right]}  = 56$

Với $D = [2; 5]$ thì $x = 0;x =  \pm \sqrt {{3 \over 2}}$ đều không thuộc $D$ nên $y(2) = 6; y(5) = 552$.

Vậy $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;5} \right]}  = 6;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;5} \right]}  = 552$ 

c)  $y = {{x - 2} \over {x - 1}};y’ = {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0;\forall x \ne 1$

Với $D = [2; 4]: y(2) = 0$; $y\left( 4 \right) = {2 \over 3}$. Vậy $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 0;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = {2 \over 3}$ 

Với $D = [-3; -2]$: $y\left( { - 3} \right) = {5 \over 4};y\left( { - 2} \right) = {4 \over 3}$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = {5 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 3;2} \right]}  = {4 \over 3}$

d)  

$\eqalign{ & D = \left[ { - 1;1} \right]:y’ = {{ - 2} \over {\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \cr & y\left( { - 1} \right) = 3;y\left( 1 \right) = 1 \cr}$

Vậy $\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]}  = 1;\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]}  = 3$