Advertisements (Quảng cáo)
Bài 1. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\) ;
b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\);
c) \(y = {{2 – x} \over {1 – x}}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\);
d) \(y = \sqrt {5 – 4{\rm{x}}}\) trên đoạn \([-1;1]\).
a) Xét \(D = [-4; 4]\)
\(y’ = 3{{\rm{x}}^2} – 6{\rm{x}} – 9;y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = – 1 \in D \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \(y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8\)
Vậy \(\eqalign{
& \mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { – 4;4} \right]} = 40 \cr
& \mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { – 4;4} \right]} = – 41 \cr}\)
Xét \(D = [0; 5]\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = – 1 \notin D \hfill \cr} \right.\)
Ta có \(y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8\)
Vậy \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;5} \right]} = 40;\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;5} \right]} = 8\)
b) \(y’ = 4{x^3} – 6x = 2x\left( {2{x^2} – 3} \right);y’ = 0\left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr x = – \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\)
– Với \(D = [0; 3]\) thì \(x = – \sqrt {{3 \over 2}} \notin D\)
Ta có \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 56;y\left( {\sqrt {{3 \over 2}} } \right) = – {1 \over 4}\)
Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – {1 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = 56\)
Với \(D = [2; 5]\) thì \(x = 0;x = \pm \sqrt {{3 \over 2}}\) đều không thuộc \(D\) nên \(y(2) = 6; y(5) = 552\).
Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;5} \right]} = 6;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;5} \right]} = 552\)
c) \(y = {{x – 2} \over {x – 1}};y’ = {1 \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} > 0;\forall x \ne 1\)
Với \(D = [2; 4]: y(2) = 0\); \(y\left( 4 \right) = {2 \over 3}\). Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = 0;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = {2 \over 3}\)
Với \(D = [-3; -2]\): \(y\left( { – 3} \right) = {5 \over 4};y\left( { – 2} \right) = {4 \over 3}\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3; – 2} \right]} y = {5 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} = {4 \over 3}\)
d)
\(\eqalign{
& D = \left[ { – 1;1} \right]:y’ = {{ – 2} \over {\sqrt {5 – 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right] \cr
& y\left( { – 1} \right) = 3;y\left( 1 \right) = 1 \cr} \)
Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = 1;\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = 3\)