Bài 7 trang 44 sách giải tích 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 7. Cho hàm số y = $\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m$.

         a) Với giá trị nào của tham số $m$, đồ thị của hàm số đi qua điểm $(-1 ; 1)$ ?

         b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = 1$.

         c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tung độ bằng $\frac{7}{4}$.

Hướng dẫn giải:

a) Điểm $(-1 ; 1)$ thuộc đồ thị của hàm số $⇔1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$.

b) $m = 1$ $\Rightarrow y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1$ .

Tập xác định:$\mathbb R$.

* Sự biến thiên:

$y’=x^{3}+x=x(x^{2}+1); y’ = 0 ⇔ x = 0$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$; $y_{CT}=1$

- Giới hạn: 

   $\eqalign{ & \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr & \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr}$

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị 

Đồ thị hàm số giao trục $0y$ tại điểm $(0;1)$.

 c) $\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}-3=0\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.$Vậy hai điểm thuộc $(C)$ có tung độ $\frac{7}{4}$ là $A(1 ; \frac{7}{4})$ và $B(-1 ; \frac{7}{4})$. Ta có $y'(-1) = -2, y'(1) = 2$.

Phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$ là: $y - \frac{7}{4}= y'(1)(x - 1) ⇔ y = 2x -\frac{1}{4}$

Phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại $B$ là : $y - \frac{7}{4}= y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x - \frac{1}{4}$.