Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 (sách cũ) Bài 10 trang 27 Hình học 12: Tính thể tích khối tứ...

Bài 10 trang 27 Hình học 12: Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C...

Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’

Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A’B’C’\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

a) Tính thể tích khối tứ diện \(A’BB’C\).

b) Mặt phẳng đi qua \(A’B’\) và trọng tâm tam giác \(ABC\), cắt \(AC\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Tính thể tích hình chóp \(C.A’B’FE\).

a) Ta tính thể tích hình chóp \(A’.BCB’\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B’C’\), ta có:

\(A’M \bot B’C’\)                                (1)

Lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là lăng trụ đứng nên:

\(BB’ \bot (A’B’C’)\)

\( \Rightarrow BB’ \bot A’M\)                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A’M \bot (BB’C’)\) hay \(A’M\) là đường cao của hình chóp \(A’.BCB’\).

Ta có: \(A’M\) = \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) ;        \({S_{BB’C}} = {1 \over 2}{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{A’BB’C}} = {1 \over 3}.A’M.{S_{BB’C}} \Rightarrow {V_{A’BB’C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Advertisements (Quảng cáo)

b)

Thể tích hình chóp \(C.A’B’EF\) bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- \(V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh \(B’\), đáy là tam giác \(CEF\).

- \(V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh \(B’\), đáy là tam giác \(A’EC\).

Do \((ABC) // (A’B’C’)\) nên dễ thấy \(EF // AB\). Ta cũng có:

\(EF\) = \({2 \over 3}a\)

Hình chóp \(B’.CEF\) có chiều cao \(BB’ = a\) và diện tích đáy là:

\({S_{C{\rm{EF}}}} = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\)

Từ đây ta có: \({V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\)

Do \(EC = {2 \over 3}AC\) nên \({S_{A’EC}} = {2 \over 3}a.{1 \over 2}a = {{{a^2}} \over 3}\)

Hình chóp \(B’.A’EC\) có chiều cao là \(B’I\) (chiều cao của \(△A’B’C’\)) bằng \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên \(V_2\)= \({{{a^3}\sqrt 3 } \over {18}}\)

Vậy thể tích hình chóp \(C.A’B’FE\) là: \(V = V_1 + V_2\) = \({{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 12 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: