Bài 10 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12: Bài 2. Mặt cầu...

Bài 10. Cho hình chóp $S.ABC$ có bốn đỉnh đếu nằm trên một mặt cầu, $SA = a, SB = b, SC = c$ và ba cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó

Gọi $I$ là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác $S.ABC$. Hạ $IJ$ vuông góc $(SAB)$, vì $J$ cách đều $3$ điểm $S, A, B$ nên $J$ cũng cách đều $3$ điểm $S, A, B$.

Vì tam giác $SAB$ vuông đỉnh $S$ nên $J$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Do $SC$ vuông góc $(SAB)$ nên $IJ // SC$.

Gọi $H$ là trung điểm $SC$, ta có $SH = IJ = {c \over 2}$.

Do vậy, $I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}$ và  bán kính hình cầu ngoại tiếp $S.ABC$ là 

$r = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

Diện tích mặt cầu là:

$S = 4\pi {r^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})$

Thể tích khối cầu là :
$V = {4 \over 3}\pi {r^3} = {1 \over 6}\pi {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^{{3 \over 2}}}$.