Câu hỏi 3 trang 48 SGK Hình học 12: Bài 2. Mặt cầu...

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:

a) Đi qua $8$ đỉnh của hình lập phương.

b) Tiếp xúc với $12$ cạnh của hình lập phương.

c) Tiếp xúc với $6$ mặt của hình lập phương.

a) Tâm mặt cầu là giao điểm các đường chéo.

Bán kính mặt cầu là $OA = \displaystyle{1 \over 2}AC’$

Đường chéo hình vuông cạnh $a$ là $AC = a\sqrt 2$

Xét tam giác vuông $ACC’$ tại $C$:

Ta có: $AC’ = \sqrt {A{C^2} + C'{C^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3$

Do đó $AO = \dfrac{1}{2}AC’ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy bán kính mặt cầu đi qua $8$ đỉnh hình lập phương cạnh $a$ là $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

b) Không có mặt cầu tiếp xúc với $12$ cạnh của hình lập phương.

c) Tâm mặt cầu tiếp xúc $6$ mặt của hình lập phương là trung điểm $I$ của đường nối hai tâm đáy.

Bán kính mặt cầu là $r= \displaystyle{1 \over 2} AA’$ $=\displaystyle{a \over 2}$