Câu hỏi 2 trang 45 SGK Hình học 12: Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là...

a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng ${r \over 2}$

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

- Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.

- Từ đó kết luận cho từng câu a, b.

a.

Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ có $OA = r,OH = \dfrac{a}{2}$ nên: $HA = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}$ $= \sqrt {{r^2} - \dfrac{{{r^2}}}{4}}  = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}$.

b. 

Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ có $HA = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}$ $= \sqrt {{r^2} - {a^2}}$

Xét tam giác $OKB$ vuông tại $K$ có $KB = \sqrt {O{B^2} - O{K^2}}$ $= \sqrt {{r^2} - {b^2}}$

Mà $0 < a < b < r$ nên $0 < {r^2} - {b^2} < {r^2} - {a^2}$ $\Rightarrow \sqrt {{r^2} - {b^2}}  < \sqrt {{r^2} - {a^2}}$ hay $KB < HA$.

Vậy đường tròn cắt bởi $\left( \beta  \right)$ có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi $\left( \alpha  \right)$.