Bài 8 trang 49 sách giáo khoa hình học lớp 12: Bài 2. Mặt cầu. Bài 8. Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Bài 8. Chứng minh rắng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với \(6\) cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Giả sử tứ diện \(ABCD\) có mặt cầu tiếp xúc với cả \(6\) cạnh của tứ diện; tiếp xúc với \(AB, BC, CD,AD,AC,BD\) lần lượt tại \(M,N,P,Q,R,S\). Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:
\( \left\{\begin{matrix} AM= AR = AQ\\ BM= BN= BS\\ CN= CP= CR\\ DP = DQ = DS\\ \end{matrix}\right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta chứng minh: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).
Ta có
\(AM + MB + CP + PD \)\(=AR+RC+BS+SD\)
\(= AQ + QD + BN + NC\)
Hay: \(AB + CD = AC +BD = AD + BC\).