Bài 2. Cho hình lập phương \((H)\). Gọi \((H’)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của \((H)\). Tính tỉ số diện tích toàn phần của \((H)\) và \((H’)\).
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \(S_1 = 6. a^2\)
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ)
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}’ = {1 \over 2}\sqrt 2a \)
Ta có \({S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt 2a } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3 \)
Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \)
Do đó: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)