Bài 2 trang 18 sgk hình học 12: Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều...

Bài 2. Cho hình lập phương $(H)$. Gọi $(H’)$ là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của $(H)$. Tính tỉ số diện tích toàn phần của $(H)$ và $(H’)$.

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng $a$. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: $S_1 = 6. a^2$

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là $8$ lần diện tích tam giác đều $MQE$ (hình vẽ)

Xét tam giác $ACD’$, ta có $M, Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AD’$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD’$, do đó $MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}’ = {1 \over 2}\sqrt 2a$ 

Ta có ${S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt 2a } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3$ 

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: ${S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3$

Do đó: ${{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3$