Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Bài 4 trang 18 sgk hình học 12: Bài 2. Khối đa...

Bài 4 trang 18 sgk hình học 12: Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều...

Bài 4 trang 18 sgk hình học 12: Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Cho hình bát diện đều ABCDEF:

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 4. Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\) 

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng \(AF, BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) \(ABFD, AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.

 

a) Do \(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \(AF\)).

Advertisements (Quảng cáo)

Tương tự, \(A, B, F, D\) đồng phẳng và \(A, C, F, E\) đồng phẳng

Gọi \(I\) là giao của \((AF)\) với \((BCDE)\). Khi đó \(B, I, D\) là những điểm chung của hai mặt phẳng \((BCDE)\) và \((ABFD)\) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \(E, I , C\) thẳng hàng.

Vậy \(AF, BD, CE\) đồng quy tại \(I\).

Vì \(BCDE\) là hình thoi nên \(EC\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường. \(I\) là trung điểm của \(AF\) và \(AF\) vuông góc với \(BD\) và \(EC\), do đó các đoạn thẳng \(AF, BD\), và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Do \(AI\) vuông góc \((BCDE)\) và \(AB = AC =AD = AE\) nên \(IB = IC= ID = IE\). Từ đó suy ra hình thoi \(BCDE\) là hình vuông. Tương tự \(ABFD, AEFC\) là những hình vuông.