Bài 4 trang 18 sgk hình học 12: Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều...

Bài 4. Cho hình bát diện đều $ABCDEF$ 

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng $AF, BD$ và $CE$ đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) $ABFD, AEFC$ và $BCDE$ là những hình vuông.

a) Do $B, C, D, E$ cách đều $A$ và $F$ nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của $AF$).

Tương tự, $A, B, F, D$ đồng phẳng và $A, C, F, E$ đồng phẳng

Gọi $I$ là giao của $(AF)$ với $(BCDE)$. Khi đó $B, I, D$ là những điểm chung của hai mặt phẳng $(BCDE)$ và $(ABFD)$ nên chúng thẳng hàng. Tương tự, $E, I , C$ thẳng hàng.

Vậy $AF, BD, CE$ đồng quy tại $I$.

Vì $BCDE$ là hình thoi nên $EC$ vuông góc với $BC$ và cắt $BC$ tại $I$ là trung điểm của mỗi đường. $I$ là trung điểm của $AF$ và $AF$ vuông góc với $BD$ và $EC$, do đó các đoạn thẳng $AF, BD$, và $CE$ đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Do $AI$ vuông góc $(BCDE)$ và $AB = AC =AD = AE$ nên $IB = IC= ID = IE$. Từ đó suy ra hình thoi $BCDE$ là hình vuông. Tương tự $ABFD, AEFC$ là những hình vuông.