Bài 5. Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \)
và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)\)
Gọi 
là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).
a) Tính thể tích của theo \(α\) và \(R\).
b) Tìm \(α\) sao cho thể tích là lớn nhất.
Hướng dẫn giải :
a) Hoành độ điểm \(P\) là :
Advertisements (Quảng cáo)
\(x_p= OP = OM. cos α = R.cosα\)
Phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y = tanα.x\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{{\tan }^2}\alpha {{{x^3}} \over 3}\left| {_0^{R\cos \alpha } = {{\pi .{R^3}} \over 3}(\cos \alpha - {{\cos }^3}} \right.} \alpha )\)
b) Đặt \(t = cosα \Rightarrow t ∈ \left[ {{1 \over 2};1} \right]\). \(\left( \text{ vì }{\alpha \in \left[ {0;{\pi \over 3}} \right]} \right)\), \(α = arccos t\).
Ta có :
\(\eqalign{
& V = {{\pi {R^3}} \over 3}(t - {t^3});V’ = {{\pi {R^3}} \over 3}(1 - 3{t^2}) \cr
& V’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {{\sqrt 3 } \over 3} \hfill \cr
t = {{ - \sqrt 3 } \over 3}\text{ (loại)} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Từ đó suy ra \(V\) lớn nhất bằng \({{2\sqrt 3 \pi R^3} \over 27}\) \(\Leftrightarrow t = {{\sqrt 3 } \over 3} \Leftrightarrow \alpha = \arccos {{\sqrt 3 } \over 3}\)