1. Tính diện tích hình phẳng.
a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục t trên đoạn \([a;b]\); trục hoành và hai đường thẳng \(x = a; x = b\) (h.1), thì diện tích \(S\) được cho bởi công thức:
\(S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx\) (1)
Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu của \(f(x)\) trên đoạn \([a,b]\). Nếu \(f(x)\) không đổi dấu
trên khoảng \((c;d) ⊂ [a;b]\) thì :
\(\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|\)
Chẳng hạn theo hình 1 ta có:
\(\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right| \)\(+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|\)
b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sô y= f1(x) và y =f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng \( x = a, x = b\) (h.2) thì diện tích S được cho bởi công thức :
\(\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx\) (2)
Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f1(x) - f2(x) trên đoạn \([a;b]\) hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng \((a;b)\), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình : f(x)= f1(x) - f2(x) = 0, tìm các nghiệm xi ∈ (a;b) .
Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:
x1 < x2 < … < xn.
Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):
\(S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|\)
Chẳng hạn theo hình 2 thì f(x) có hai nghiệm c1, c2 ∈ (a;b) nên ta có:
\(S = \int_a^b f (x)dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right| \)\(+ \left| {\int_{{c_2}}^b f (x)dx} \right|\)
Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a, x = b\) thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x1, b được thay thế bởi xn.
Advertisements (Quảng cáo)
Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f1(x) = 0 hoặc y = f2(x) = 0.
Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g1(y), x = g2(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:
$$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$ .
2. Thể tích vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
x = a, x = b (a<b). S(x) là diện tích của thiết diện của 
được cho bởi công thức: \(V = \int_a^b S (x)dx\) (với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).
3. Thể tích khối tròn xoay
a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) không âm và liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quay quanh trục \(Ox\), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích Vx của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:
$${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$
b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\) không âm và liên tục trên đoạn \([c;d]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = c, y = d\) quay quanh trục \(Oy\), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:
$${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$
Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a\),
\(x = b\) và độ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) trên đoạn \([a;b]\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức:
$${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$
Tương tự, đổi vai trò \(x\) và \(y\) cho nhau, ta có công thức tính Vy (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).