Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học: Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học....

1. Tính diện tích hình phẳng.

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục t trên đoạn $[a;b]$; trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b$ (h.1), thì diện tích $S$ được cho bởi công thức:

$S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx$             (1)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Nếu $f(x)$ không đổi dấu 

trên khoảng $(c;d) ⊂ [a;b]$ thì :

$\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|$

Chẳng hạn theo hình 1 ta có:

$\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right|$$+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|$ 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sô y= f₁(x) và y =f₂(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng $x = a, x = b$ (h.2) thì diện tích S được cho bởi công thức :

                                $\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx$         (2)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f₁(x)  - f₂(x) trên đoạn $[a;b]$ hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng $(a;b)$, sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình : f(x)= f₁(x)  - f₂(x) = 0, tìm các nghiệm x_i ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

                                         x₁ < x₂ < … < x_n.

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

$S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|$

Chẳng hạn theo hình 2 thì f(x) có hai nghiệm c₁, c₂ ∈ (a;b) nên ta có:

$S = \int_a^b f (x)dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right|$$+ \left| {\int_{{c_2}}^b f (x)dx} \right|$

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a, x = b$ thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x₁, b được thay thế bởi x_n.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f₁(x) = 0 hoặc y = f₂(x) = 0.

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g₁(y), x = g₂(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:

                                        $$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$  .

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ

x = a, x = b (a<b). S(x) là diện tích của thiết diện của  được cho bởi công thức: $V = \int_a^b S (x)dx$ (với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ không âm và liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  V_x của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

                             $${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = g(y)$ không âm và liên tục trên đoạn $[c;d]$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = c, y = d$ quay quanh trục $Oy$, ta được khối tròn xoay. Thể tích V_y của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

                           $${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a$,

$x = b$ và độ thị hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục và 0 ≤  f₁(x) ≤ f₂(x) trên đoạn $[a;b]$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức:

                          $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò $x$ và $y$ cho nhau, ta có công thức tính  V_y (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).