Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian: Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian...

1. Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc $O$, đôi một vuông góc với nhau $x’Ox ; y’Oy ; z’Oz$. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc $Oxyz$; $O$ là gốc tọa tọa độ. Giả sử $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $x’Ox, y’Oy, z’Oz$ (h. 52)

Với điểm $M$ thuộc không gian $Oxyz$ thì tồn tại duy nhất bộ số $(x ; y ; z)$ để

$\overrightarrow{OM}= x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$,

bộ $(x ; y ; z)$ được gọi là tọa độ của điểm $M(x ; y ; z)$.

Trong không gian Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{a}$, khi đó $\overrightarrow{a}= a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$

Ta viết $\overrightarrow{a}$(a₁ ; a₂ ; a₃) và nói $\overrightarrow{a}$ có các tọa độ (a₁ ; a₂ ; a₃) .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử $\overrightarrow{a}$= (a₁ ; a₂ ; a₃) và $\overrightarrow{b}$ = (b₁ ; b₂ ; b₃), thì:

$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ = (a₁ + b₁ ; a₂ + b₂ ; a₃ + b₃ ).

$\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ = (a₁ - b₁ ; a₂ - b₂ ; a₃ - b₃ ).

 k.$\overrightarrow{a}$ = (ka₁ ; k a₂ ; ka₃).

3. Tích vô hướng.

Cho $\overrightarrow{a}$(a₁ ; a₂ ; a₃) và $\overrightarrow{b}$(b₁ ; b₂ ; b₃) thì tích vô hướng

 $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = a­₁.b₁ + a₂.b₂ + a₃.b_3.

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.$

Đặt $\varphi =\left (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right )$ , 0 ≤ $\varphi$ ≤ 180⁰  thì $cos\varphi =\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$     (với $\overrightarrow{a}$ ≠ $\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b}$≠ $\overrightarrow{0}$)

4. Phương trình mặt cầu.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a ; b ; c)$ bán kính $r$ có phương trình:

                              (x - a)² + (y – b)² + (z – c)² = r^2.