Bài 5 trang 80 - Hình học 12: Bài 2. Phương trình mặt phẳng...

Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là $A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6)$.

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua cạnh $AB$ và song song với cạnh $CD$.

:

a) Mặt phẳng $(ADC)$ đi qua $A(5 ; 1 ; 3)$ và chứa giá của các vectơ $\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)$ và $\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)$.

Vectơ $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ] = (-2 ; -1 ; -1)$ vuông góc với mặt phẳng $(ACD)$.

Phương trình $(ACD)$ có dạng:

$2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0$.

hay $2x + y + z - 14 = 0$.

Tương tự: Mặt phẳng $(BCD)$ qua điểm $B(1 ; 6 ; 2)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có :$\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)$, $\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)$ và

$\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )$

      $= (-12 ; -10 ; -6)$

Xét  $\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)$ thì $\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}$ nên $\overrightarrow{m_{1}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(BCD)$. Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ có dạng:

       $6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0$

hay  $6x + 5y + 3z - 42 = 0$.

b) Mặt phẳng $( α )$ qua cạnh $AB$ và song song với $CD$ thì $( α )$ qua $A$ và nhận

 $\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; 1)$ , $\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Vectơ $\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] = (10 ; 9 ; 5)$ là vectơ pháp tuyến của $( α )$.

Phương trình mặt phẳng $( α )$ có dạng : $10x + 9y + 5z - 74 = 0$.