Bài 7 trang 39 sách giáo khoa hình học lớp 12: Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay...

Bài 7. Một hình trụ có bán kính $r$ và chiều cao $h = r\sqrt3$.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm $A$ và $B$ lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ bằng $30^0$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và trục của hình trụ

Theo công thức ta có:

$S_{xq} = 2πrh = 2\sqrt3 πr^2$ 

$S_{tp} = 2πrh + 2πr^2 =  2\sqrt3 πr^2 + 2 πr^2$

$= 2(\sqrt3 + 1)πr^2$  ( đơn vị thể tích)

b) $V$trụ = $πR^2h = \sqrt3 π r^3$

c) Giả sử trục của hình trụ là $O_1O_2$ và $A$ nằm trên đường tròn tâm $O_1$, $B$ nằm trên đường tròn tâm $O_2$; $I$ là trung điểm của $O_1O_2$ , $J$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $IJ$ là đường vuông góc chung của $O_1O_2$  và $AB$. Hạ $BB_1$ vuông góc với đáy, $J_1$ là hình chiếu vuông góc của $J$ xuống đáy.

Ta có $J_{1}$ là trung điểm của $AB_{1}$, $O_{1}J_{1}$ = $IJ$.

Theo giả thiết $\widehat{B_{1}BA}$ = $30^0$^.

do vậy: $AB_1 = BB_1.tan 30^0$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}h = r$.

Xét tam giác vuông $O_1J_1A$ vuông tại $J_1$ ta có: 

$O_{1}J^{2}_{1}$ = $O_{1}A^{2}$ - $AJ^{2}_{1} =$ $r^{2} - {\left( {{r \over 2}} \right)^2}=$ $\frac{3}{4}r^{2}$.

Vậy khoảng cách giữa $AB$ và $O_1O_2$ là: $\frac{\sqrt{3}}{2}r$