Bài 8 trang 100 Hình học 12: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2)...

Bài 8. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3)$.

a) Chứng minh rằng $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và tính khoảng cách từ $D$ đến $(ABC)$.

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

d) Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (2; 4; 3)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $AB$:

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 4t \hfill \cr z = - 1 + 3t \hfill \cr} \right.$

$\overrightarrow {CD} = (-1; 1; 2)$. Phương trình tham số của $CD$:

$\left\{ \matrix{ x = 4 - k \hfill \cr y = - 1 + k \hfill \cr z = 1 + 2k \hfill \cr} \right.$

Do $\overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {CD}$ nên hai đường thẳng $AB, CD$ không cùng phương, chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ:

$\left\{ \matrix{ 1 + 3t = 4 - t'(1) \hfill \cr 4t = - 1 + t'(2) \hfill \cr - 1 + 3t = 1 + 2t'(3) \hfill \cr} \right.$

Từ hai phương trình đầu, ta có: $t = {2 \over 7}$; $t’ = {{15} \over 7}$

Hai giá trị này không thoả mãn phương trình (3) nên hệ vô nghiệm, suy ra $AB$ và $CD$ không cắt nhau.

Vậy $AB$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

b) Ta có $\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)$, $\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)$

phương trình mp $(ABC)$: $7(x - 1) - 7(y - 0) -14(z + 1) = 0$

$7x - 7y -14z - 21 = 0   \Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0$.

$d(D, (ABC))$ =${{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6$

c) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$

Mặt cầu đi qua $A(1; 0; -1)$ ta có:

${1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0$

$\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0$               (1)

Tương tự, mặt cầu đi qua $B, C, D$ cho ta các phương trình:

$2A + 8B - 2C + D + 18 = 0$                                 (2)

$4A + 8B + 6C + D + 29 = 0$                                (3)

$4A + 4B - 2C + D + 9 = 0$                                  (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: $A = 3; B = 2; C = {1 \over 2}; D = 3$. Ta được tâm của mặt cầu $I$$\left( { - 3; - 2; - {1 \over 2}} \right)$ và bán kính:

$R = 3^2+ 2^2 + {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} - 3 = {{41} \over 4} \Rightarrow R = {{\sqrt {41} } \over 2}$

Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A, B, C, D$ là:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {{41} \over 4}$

d) Ta có $\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)$ $\Rightarrow AB^2= 4 + 16 + 1 = 21$$\Rightarrow AB = \sqrt {21}$

                $\overrightarrow {AC}  = (3; -1; 2)$ $\Rightarrow AC^2 = 9 + 1 + 4 = 14$$\Rightarrow AC = \sqrt {14}$

Xét $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.3 + 4.(-1) + (-1).2 = 0$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}$

Tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$, có diện tích:

${S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}\sqrt {21} .\sqrt {14}$

Thể tích tứ diện $ABCD$:

${V_{ABCD}} = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.DH = {1 \over 3}.{1 \over 2}.\sqrt {21} .\sqrt {14} .\sqrt 6  = 7$ (Đvdt)